Propriedades de vetores

Objetivo: ao fim desta aula, o aluno deverá ser capaz de manipular propriedades ligadas às operações vetoriais

Em nossa caminhada por Chicago começamos a trabalhar com uma entidade chamada vetor, que é usada para representar grandezas multi-dimensionais. Vamos então definir a nossa notação para nos referir a vetores sem que fiquemos nos confundindo.

Notação

Quando uma variável é vetor, e quando é um "número"?

Quando a variável \(x\) é um "número", dizemos que ela pertence ao conjunto dos reais, ou:

\[ x \in \mathbb{R}. \]

Se \(x \in \mathbb{R}\), dizemos que \(x\) é real, ou, ainda, que \(x\) é escalar.

Se \(x\) é um "vetor" com \(n\) dimensões, a notação é:

\[ x \in \mathbb{R}^n. \]

Como saber se uma variável é escalar ou vetor

Uma variável não é escalar ou vetor pela letra, mas pelo conjunto ao qual pertence.

  • Se \(x \in \mathbb{R}\), então \(x\) é um escalar (um número).
  • Se \(x \in \mathbb{R}^n\), então \(x\) é um vetor.
  • O conjunto (\(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{R}^n\)) é sempre a informação mais importante.

Vetores e suas componentes

Como vamos trabalhar com vetores de várias dimensões, será útil usarmos índices para nos referir a elementos de um vetor:

\[ x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}, \]

onde:

  • \(x \in \mathbb{R}^n\)
  • \(x_i \in \mathbb{R}\)

Operações elementares

As operações de "soma de vetores" e "multiplicação por escalar" são somente formalizações do que vimos na aula passada:

Soma de vetores

\[ x + y = \begin{bmatrix} x_1 + y_1 \\ x_2 + y_2 \\ \vdots \\ x_n + y_n \end{bmatrix} \]

Multiplicação por escalar

\[ \alpha x = \begin{bmatrix} \alpha x_1 \\ \alpha x_2 \\ \vdots \\ \alpha x_n \end{bmatrix} \]

Podemos aplicar essas duas operações para resolver, por exemplo:

\[ \begin{align*} & \begin{bmatrix} 5 \\ 3 \end{bmatrix} + 5 \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} 5 \\ 3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 10 \\ -5 \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} 5+10 \\ 3+(-5) \end{bmatrix}\\ =& \begin{bmatrix} 15 \\ -2 \end{bmatrix} \end{align*} \]
Encontre o resultado de \(\begin{bmatrix} -2 \\ 0 \end{bmatrix} + \frac{2}{5} \begin{bmatrix} 5 \\ -1 \end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix} 0 \\ -\frac{2}{5} \end{bmatrix}\)

Como identificar o tipo de uma variável em uma expressão

Mesmo quando o conjunto não está escrito, o tipo da variável pode ser inferido pela operação.

  • Em uma soma \(x + y\), as duas variáveis devem ser do mesmo tipo.
  • Em uma expressão \(\alpha x\), \(\alpha\) é um escalar e \(x\) é um vetor.
  • Não existe soma entre escalar e vetor.

Propriedades

As operações que definimos levam imediatamente a algumas propriedades, todas elas demonstráveis à partir das definições que fizemos.

Definição vs. propriedade

  • Definição explica como uma operação é feita.
  • Propriedade descreve o que sempre vale depois que a operação foi definida.

Comutatividade da soma

Uma operação é "comutativa" se a ordem não importa. A soma de vetores é comutativa, ou seja, se \(x \in \mathbb{R}^n\) e \(y \in \mathbb{R}^n\), então:

\[ x + y = y + x \]
Demonstração
\[ x + y = \begin{bmatrix} x_1 + y_1 \\ x_2 + y_2 \\ \vdots \\ x_n + y_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y_1 + x_1 \\ y_2 + x_2 \\ \vdots \\ y_n + x_n \end{bmatrix} = y + x \]

Lembra-se da caminhada por Chicago? Já sabemos intuitivamente que andar para o leste e depois para o norte leva ao mesmo destino (ou, o mesmo resultado) que andar para o norte e depois para o leste. Mais formalmente, podemos chamar o "andar para o norte" de \(y\) e o "andar para o leste" de \(x\). Então, os dois caminhos serem iguais é uma consequência de que \(x+y=y+x\).

Associatividade da soma

A associatividade é o que permite fazer operações em qualquer ordem. Para \(x \in \mathbb{R}^n\), \(y \in \mathbb{R}^n\) e \(z \in \mathbb{R}^n\):

\[ x + (y + z) = (x + y) + z \]
Demonstração
\[ \begin{align*} x + (y + z) &= \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} y_1 + z_1 \\ y_2 + z_2\\ \vdots \\ y_n + z_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 + y_1 + z_1 \\ x_2 + y_2 + z_2 \\ \vdots \\ x_n + y_n + z_n \end{bmatrix} = x + y + z\\ (x + y) + z &= \begin{bmatrix} x_1+y_1 \\ x_2+y_2 \\ \vdots \\ x_n+y_n \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} z_1 \\ z_2\\ \vdots \\ z_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 + y_1 + z_1 \\ x_2 + y_2 + z_2 \\ \vdots \\ x_n + y_n + z_n \end{bmatrix} = x + y+ z \end{align*} \]

A associatividade significa que, se sairmos de casa com três listas de compras (\(x\), \(y\) e \(z\)), então tanto faz comprar primeiro as duas iniciais e depois comprar a terceira, ou comprar as duas últimas e, por último, a terceira - ou: \(x + (y+z) = (x+y) + z\). Em outras palavras: podemos agrupar as operações de soma livremente.

Distributividade da multiplicação por escalar

"Distributividade" significa que podemos aplicar a distributiva em operações com parênteses, isto é, se \(\alpha \in \mathbb{R}\), \(x \in \mathbb{R}^n\) e \(y \in \mathbb{R}^n\):

\[ \alpha (x + y) = \alpha x + \alpha y \]
Demonstração
\[ \alpha (x + y) = \begin{bmatrix} \alpha (x_1 + y_1) \\ \alpha (x_2 + y_2) \\ \vdots \\ \alpha (x_n + y_n) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \alpha x_1 + \alpha y_1 \\ \alpha x_2 + \alpha y_2 \\ \vdots \\ \alpha x_n + \alpha y_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \alpha x_1 \\ \alpha x_2 \\ \vdots \\ \alpha x_n \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \alpha y_1 \\ \alpha y_2 \\ \vdots \\ \alpha y_n \end{bmatrix} = \alpha x + \alpha y \]

Em nossa caminhada por Chicago, essa propriedade significa que, se cada "passo" de deslocamento for dobrado, então a posição final do nosso passeio também será "dobrada".

Exercícios

Nas situações abaixo, identifique qual é a propriedade que explica o comportamento observado e como as variáveis relevantes se relacionam aos elementos do problema.

Um pedestre faz três deslocamentos no plano: primeiro um vetor a, depois um vetor b, depois um vetor c. Para calcular o deslocamento total, ele soma primeiro a + b e depois soma c. Um colega soma primeiro b + c e depois soma a. Ambos chegam ao mesmo deslocamento final.

A propriedade envolvida é a associatividade da soma vetorial. No problema, os vetores \(a, b, c\) representam os três deslocamentos realizados pelo pedestre. A igualdade mostra que o deslocamento total independe da forma como esses deslocamentos são agrupados no cálculo.

Um barco sofre dois deslocamentos vetoriais: um devido ao motor (m) e outro devido à correnteza (c). O piloto observa que aplicar primeiro o deslocamento do motor e depois o da correnteza produz o mesmo deslocamento final que aplicar primeiro a correnteza e depois o motor.

A propriedade envolvida é a comutatividade da soma vetorial. No problema, os vetores \(m\) e \(c\) representam os deslocamentos causados pelo motor e pela correnteza, respectivamente. A igualdade mostra que a ordem em que esses deslocamentos são somados não altera o deslocamento final do barco.

Um drone realiza um trajeto composto por dois vetores de deslocamento, a e b. Um engenheiro decide ampliar toda a trajetória por um fator 2. Ele observa que pode multiplicar cada deslocamento por 2 e depois somá-los, ou somar os deslocamentos primeiro e multiplicar o resultado por 2, obtendo o mesmo deslocamento final.

A propriedade envolvida é a distributividade da multiplicação escalar em relação à soma vetorial. No problema, os vetores \(a\) e \(b\) representam os dois trechos do trajeto do drone, e o escalar \(2\) representa o fator de ampliação aplicado à trajetória. A igualdade mostra que a escala pode ser aplicada antes ou depois da soma dos deslocamentos.

Em uma animação gráfica, um objeto é deslocado por dois vetores, a e b, e depois toda a cena é ampliada por um fator k (zoom). O programador percebe que o deslocamento final é o mesmo se o zoom for aplicado antes ou depois da soma dos deslocamentos.

A propriedade envolvida é a distributividade da multiplicação escalar em relação à soma vetorial. No problema, os vetores \(a\) e \(b\) representam os deslocamentos aplicados ao objeto, enquanto o escalar \(k\) representa o fator de ampliação da cena. A igualdade mostra que o efeito da escala se distribui sobre a soma dos vetores.

Exercício

Quando estou usando uma propriedade?

Você está usando uma propriedade quando:

  • troca a ordem de uma soma (comutatividade);
  • muda o agrupamento com parênteses (associatividade);
  • distribui um escalar sobre uma soma (distributividade).

Você está usando uma definição quando:

  • calcula somas componente a componente;
  • multiplica cada componente de um vetor por um número.

Resolva a expressão abaixo encontrando \(x\). Para cada passo, explicite se está usando uma propriedade (dizendo qual propriedade foi usada - comutatividade, associatividade, distributividade) ou se está aplicando diretamente a definição de soma de vetores ou de multiplicação por escalares.

\[ x = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix} + 2 \left( \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ -3 \\ -2 \\ -1 \end{bmatrix} \right) + \begin{bmatrix} -6 \\ -4 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} \]