Exercícios: Geometria Analítica (Parte 1)

Questão 1

Encontre \(a\) para que as duas retas descritas sejam paralelas:

a)

\[ \left\{ \begin{array}{rl} y &= 10x + 5\\ y &= ax + 2 \end{array} \right. \]

b)

\[ \left\{ \begin{array}{rl} y + 10x + 2 &= 0\\ y + ax + 4 &= 0 \end{array} \right. \]

c)

\[ \left\{ \begin{array}{rl} y + 10x + 2 &= 0\\ 2y + ax + 1 &= 0 \end{array} \right. \]

d)

\[ \left\{ \begin{array}{rl} y + 10x &= 2\\ 2y + ax &= 4 \end{array} \right. \]

e)

\[ \left\{ \begin{array}{rl} Ay + 10x &= 2\\ y + ax &= 4 \end{array} \right. \]

f)

\[ \left\{ \begin{array}{rl} Ay + Bx &= 2\\ y + ax &= 4 \end{array} \right. \]

g)

\[ \left\{ \begin{array}{rl} Ay + Bx &= 2\\ Cy + ax &= 4 \end{array} \right. \]

Questão 2 — Exercício resolvido

Uma reta pode ser determinada por dois pontos. Se tivermos dois pontos, \(p_1 = \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \end{bmatrix}\), e \(p_2 = \begin{bmatrix} x_2 \\ y_2 \end{bmatrix}\), qual é a equação da reta que passa por esses dois pontos?

Nesse caso, se nossa reta é \(y=ax+b\), então sabemos que:

\[ \begin{cases} \begin{array}{rl} y_1 &= a x_1 + b\\ y_2 &= a x_2 + b \end{array} \end{cases} \]

Podemos modelar esse sistema como:

\[ \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 & 1 \\ x_2 & 1 \ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} \]

e, portanto, encontramos os coeficientes \(a\) e \(b\) usando:

\[ \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 & 1 \\ x_2 & 1 \ \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2\end{bmatrix} \]

Questão 3

Calcule a equação da reta que contém todos os pontos que podem ser obtidos na forma: \(a \begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}\), com \(a \in \mathbb{R}\). Dica: quais são dois pontos que estão nessa reta.

Questão 4

Calcule a equação da reta que contém todos os pontos que podem ser obtidos na forma \(az\), onde \(a \in \mathbb{R}\), \(z \in \mathbb{R}^2\), sabendo que \(w=\begin{bmatrix} 4 \\ 5 \end{bmatrix}\), que \(\langle z,w\rangle=0\) e que a reta passa pela origem. Dica: calcule \(\langle z,w\rangle\) explicitamente - qual é a relação entre \(x\) e \(y\) para esses pontos?

Questão 5

Calcule a equação da reta que contém todos os pontos que podem ser obtidos na forma \(az\), onde \(a \in \mathbb{R}\), \(z \in \mathbb{R}^2\), sabendo que \(w=\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}\), que \(\langle z,w\rangle=0\) e que a reta passa pelo ponto \(\begin{bmatrix} -4 \\ 1 \end{bmatrix}\).

Questão 6

a) Encontre qual deve ser a relação entre \(A\), \(B\), \(C\) e \(D\) abaixo para que as retas descritas sejam paralelas para quaisquer valores de \(a\) e \(b\):

\[ \left\{ \begin{array}{rl} Ax + By &= a\\ Cx + Dy &= b \end{array} \right. \]

b) Encontre uma referência online que explica a definição de determinante de uma matriz \(2 \times 2\). Compare a definição que você encontrou com a solução do ítem anterior. O que você descobriu?

Questão 7

Eu fui à feira e comprei 2 pastéis e um caldo de cana, e gastei 30 reais. Meu amigo comprou 2 pastéis e dois caldos de cana, e gastou 60 reais. À partir dessas informações, é possível saber o preço de um pastel ou de um caldo de cana? Justifique.

Questão 8

Alan comprou dois pacotes de arroz e um de feijão, num total de 20 reais. Bryan comprou quatro pacotes de arroz e dois de feijão, num total de 40 reais. Cristopher comprou quatro pacotes de arroz e um de feijáo, num total de 30 reais. Quanto custa o pacote de arroz? Quanto custa o pacote de feijão?