Teoria: auto-vetores e auto-valores

Uma característica de matrizes é a existência de vetores e valores chamados de auto-valores e auto-vetores. Quando um auto-vetor de uma matriz é multiplicado pela própria matriz, o resultado é um múltiplo do próprio vetor, isto é:

$$ Av = v \lambda, $$
onde:

  • \(A \in \mathbb{R}^{n \times n}\) é a matriz,
  • \(v \in \mathbb{R}^{n \times 1}\) é o auto-vetor, e
  • \(\lambda \in \mathbb{R}\) é o auto-valor associado.

Exemplo de auto-vetores e auto-valores

$$ \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \end{bmatrix} = 2 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, $$
portanto \(\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}\) é um auto-vetor de \(\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\), e \(2\) é o auto-valor associado.

Infinitos auto-vetores?

Veja que, se \(v\) é um auto-vetor de \(A\), então:

\[ Av = v \lambda, \]

e, multiplicando ambos os lados da equação por um valor \(\alpha \in \mathbb{R}\), temos:

\[ A \alpha v = \alpha v \lambda, \]

Se fizermos \(w=\alpha v\), então temos que:

\[ A w = w\lambda, \]

e, portanto, \(w = \alpha v\) também é um auto-vetor de \(A\) com o mesmo auto-valor associado!

Então, tecnicamente, temos infinitos auto-vetores de \(A\) na direção de \(v\). Porém, usualmente usamos como auto-vetor o vetor que tem norma \(1\) nessa direção (embora isso seja somente uma convenção ligada aos pacotes numéricos para cálculo de auto-vetores e auto-valores).

Encontrando matrizes à partir de seus auto-valores e auto-vetores

Considere \(A \in \mathbb{R}^{2 \times 2}\). e tivermos dois auto-vetores (\(v_1, v_2 \in \mathbb{R}^{2 \times 1}\)), e seus auto-valores correspondentes (\(\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R}\)), temos na verdade um sistema:

\[ \begin{cases} Av_1 = v_1 \lambda_1 \\ Av_2 = v_2 \lambda_2 \end{cases} \]

Esse sistema pode ser escrito na forma de uma multiplicação matricial, se assumirmos que nossos auto-vetores são vetores-coluna:

\[ A \begin{bmatrix} \vert & \vert \\ v_1 & v_2 \\ \vert & \vert \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \vert & \vert \\ v_1 & v_2 \\ \vert & \vert \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{bmatrix} \]

Multiplicando os dois lados da equação por \(\begin{bmatrix} \vert & \vert \\ v_1 & v_2 \\ \vert & \vert \end{bmatrix}^{-1}\), ficamos com:

\[ A \begin{bmatrix} \vert & \vert \\ v_1 & v_2 \\ \vert & \vert \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \vert & \vert \\ v_1 & v_2 \\ \vert & \vert \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} \vert & \vert \\ v_1 & v_2 \\ \vert & \vert \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \vert & \vert \\ v_1 & v_2 \\ \vert & \vert \end{bmatrix}^{-1} \]

e, portanto:

$$ A = \begin{bmatrix} \vert & \vert \\ v_1 & v_2 \\ \vert & \vert \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \vert & \vert \\ v_1 & v_2 \\ \vert & \vert \end{bmatrix}^{-1} $$

Encontre a matriz cujos auto-vetores são \(v_1 = \begin{bmatrix} \cos \frac{\pi}{4} \\ \sin \frac{\pi}{4} \end{bmatrix}\) e \(v_2 = \begin{bmatrix} -\sin \frac{\pi}{4} \\ \cos \frac{\pi}{4} \end{bmatrix}\), e os seus auto-valores associados são \(\lambda_1=2\) e \(\lambda_2=1\)

Para isso, temos que resolver:

$$ A = \begin{bmatrix} \cos \frac{\pi}{4} & -\sin \frac{\pi}{4} \\ \sin \frac{\pi}{4} & \cos \frac{\pi}{4} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \frac{\pi}{4} & -\sin \frac{\pi}{4} \\ \sin \frac{\pi}{4} & \cos \frac{\pi}{4} \end{bmatrix}^{-1} $$

Após realizar a operação, confirme que \(Av_1 = v_1 \lambda_1\) e que \(A v_2 = v_2 \lambda_2\).

Uma nova interpretação para a multiplicação matricial

Vamos nos recordar agora sobre como fazíamos mudanças de base. Para fazer uma mudança de base, escrevemos um vetor \(x\) qualquer como a soma ponderada (ou: a combinação linear) de vetores-base \(b_j\), isto é:

\[ x = \sum_{j=1}^n s_j b_j \]

Na forma matricial, encontrávamos que:

\[ x = \begin{bmatrix} \vert & \vert & & \vert \\ b_1 & b_2 & \cdots & b_n \\ \vert & \vert & & \vert \end{bmatrix} \begin{bmatrix} s_1 \\ s_2 \\ \vdots \\ s_n \end{bmatrix} \]

e, portanto, poderíamos encontrar esse vetor \(s=\begin{bmatrix} s_1 \\ s_2 \\ \vdots \\ s_n \end{bmatrix}\) com a operação:

\[ s = \begin{bmatrix} \vert & \vert & & \vert \\ b_1 & b_2 & \cdots & b_n \\ \vert & \vert & & \vert \end{bmatrix}^{-1} x \]

Por simplicidade, vamos chamar a matriz com vetores-base de \(B = \begin{bmatrix} \vert & \vert & & \vert \\ b_1 & b_2 & \cdots & b_n \\ \vert & \vert & & \vert \end{bmatrix}\), isto é:

\[ x = B s \Rightarrow s = B^{-1} x \]

Memória importante!

A consequência disso é que multiplicar um vetor por \(B^{-1}\) significa mudar de base para a base definida nas colunas de \(B\).

Outra coisa que fizemos com a mudança de bases foi a operação de levar um vetor para outra base, realizar alguma operação nessa base, e então retornar. Para isso, fazíamos:

\[ y = B T B^{-1} x, \]

onde \(B\) é a matriz com vetores-base e \(T\) define alguma transformação ou operação matricial. O que era relevante nisso é que podemos usar a propriedade da associatividade para definir \(A = B T B^{-1}\) e realizar a operação \(y = Ax\) com uma única operação.

Ok, se você não se recorda disso tudo, é interessante voltar nas aulas anteriores e entender por que essas operações são válidas.

Seguindo adiante...

Agora há pouco vimos a equação:

\[ A = \begin{bmatrix} \vert & \vert \\ v_1 & v_2 \\ \vert & \vert \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \vert & \vert \\ v_1 & v_2 \\ \vert & \vert \end{bmatrix}^{-1} \]

Vamos passar para o caso de \(n\) dimensões. Nesse caso, teríamos \(n\) auto-vetores e \(n\) auto-valores associados, e, portanto:

\[ A = \begin{bmatrix} \vert & \vert & & \vert \\ v_1 & v_2 & \cdots & v_n \\ \vert & \vert & & \vert \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \vert & \vert & & \vert \\ v_1 & v_2 & \cdots & v_n \\ \vert & \vert & & \vert \end{bmatrix}^{-1} \]

Por simplicidade, vamos chamar a matriz com auto-vetores de \(P\) e a matriz com auto-valores de \(Q\). Daí, ficamos com:

\[ A = \underbrace{\begin{bmatrix} \vert & \vert & & \vert \\ v_1 & v_2 & \cdots & v_n \\ \vert & \vert & & \vert \end{bmatrix}}_P \underbrace{\begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \end{bmatrix}}_Q \underbrace{\begin{bmatrix} \vert & \vert & & \vert \\ v_1 & v_2 & \cdots & v_n \\ \vert & \vert & & \vert \end{bmatrix}^{-1}}_{P^{-1}} \]
\[ A = PQP^{-1} \]

Portanto, quando fazemos uma multiplicação matricial \(y=Ax\), podemos expandir a multiplicação para:

\[ y = PQP^{-1} x \]

Fazendo um paralelo com a mudança de bases, podemos interpretar a operação como mudar \(x\) para a base definida pelos auto-vetores de \(A\), realizar a transformação \(Q\) e então retornar à base original. Só que veja uma coisa super importante: a transformação \(Q\) é uma escala.

Mostre que, se todos os \(n\) auto-valores de \(A\) forem iguais a \(1\), então \(A\) é uma matriz identidade.

Se \(\lambda_i=1 \forall i\), então \(Q\) é uma matriz identidade e portanto:

$$ \begin{array}{rl} A &= P Q P^{-1}\\ &= P I P^{-1}\\ &= P P^{-1}\\ &= I \end{array} $$

Então, algum tipo de escala é inevitável...

Uma nova interpretação para a inversão de matrizes

Vamos nos recordar da distributividade da inversa:

$$ (XYZ)^{-1} = Z^{-1}Y^{-1}X^{-1} $$
,

isto é, aplicamos a inversa a cada uma das matrizes de "dentro dos parênteses" invertendo a ordem.

Aplicando a mesma regra para \(A\), temos:

\[ \begin{array}{rl} A &= PQP^{-1} \\ A^{-1} &= (PQP^{-1})^{-1} \\ &= (P^{-1})^{-1} Q^{-1} P^{-1} \\ &= P Q^{-1} P^{-1} \end{array} \]

Veja que isso significa que multiplicar um vetor \(x\) por \(A^{-1}\) equivale a, sequencialmente:

  1. Levar \(x\) para a base de auto-vetores de \(A\)
  2. Realizar a escala inversa \(Q^{-1}\) nesse domínio
  3. Voltar para a base original

Uma interpretação geométrica!

Já vimos que a multiplicação matricial é uma escala em uma base definida pelos auto-vetores de \(A\). A consequência disso é que a multiplicação pela inversa é a escala inversa nessa mesma base!