Exercícios: Bases (Parte 2)
Questão 1 — Exercício resolvido
Encontre \(a_1\) e \(a_2\) em:
\[
\begin{bmatrix}
3 \\
4
\end{bmatrix} =
a_1 \begin{bmatrix}
2 \\
4
\end{bmatrix}
+ a_2
\begin{bmatrix}
-3 \\
5
\end{bmatrix}
\]
Para resolver esse exercício, realizamos explicitamente a operação no lado direito da equação, obtendo:
\[
\begin{bmatrix}
3 \\
4
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
2a_1 -3 a_2 \\
4a_1 +5a_2
\end{bmatrix}
\]
Dois vetores são iguais se todas as suas componentes são iguais. Então, podemos montar o sistema:
\[
\begin{cases}
\begin{array}{rl}
3 &= 2a_1 -3a_2 \\
4 &= 4a_1 + 5 a_2
\end{array}
\end{cases}
\]
Então, encontramos \(a_1\) e \(a_2\) resolvendo o sistema.
Questão 2
Encontre \(a_1\) e \(a_2\) em:
\[
\begin{bmatrix}
5 \\
2
\end{bmatrix} =
a_1 \begin{bmatrix}
1 \\
1
\end{bmatrix}
+ a_2
\begin{bmatrix}
1 \\
0
\end{bmatrix}
\]
Questão 3
Encontre \(a_1\), \(a_2\) e \(a_3\) em:
\[
\begin{bmatrix}
5 \\
2 \\
1
\end{bmatrix} =
a_1 \begin{bmatrix}
1 \\
1 \\
1
\end{bmatrix}
+ a_2
\begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
2
\end{bmatrix}
+ a_3
\begin{bmatrix}
2 \\
1 \\
0
\end{bmatrix}
\]
Questão 4
Mostre que não é possível encontrar uma solução única para \(a_1\) e \(a_2\) em:
\[
\begin{bmatrix}
5 \\
2
\end{bmatrix} =
a_1 \begin{bmatrix}
1 \\
1
\end{bmatrix}
+ a_2
\begin{bmatrix}
2 \\
2
\end{bmatrix}
\]
Questão 5
Encontre \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) em:
\[
\begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix}
=
x \begin{bmatrix}
1 \\
3
\end{bmatrix}
+ y
\begin{bmatrix}
2 \\
4
\end{bmatrix}
\]
Questão 6
Encontre os componentes da matriz \(A\) em:
\[
A
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z
\end{bmatrix}
=
x \begin{bmatrix}
1 \\
3 \\
1
\end{bmatrix}
+ y
\begin{bmatrix}
2 \\
4 \\
1
\end{bmatrix}
+ z
\begin{bmatrix}
2 \\
-4 \\
0
\end{bmatrix}
\]