Exercícios: Autovalores e Autovetores (Partes 1 e 2)

Se os autovetores de \(A\) são as colunas de:

\[ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \]

e os seus autovalores associados são \(1\) e \(2\), encontre o valor de:

a) \(y = A \begin{bmatrix} 1 \\ 3\end{bmatrix}\)

b) \(y = A \begin{bmatrix} 2 \\ 6\end{bmatrix}\)

c) \(y = A \begin{bmatrix} 1+2 \\ 3+4\end{bmatrix}\)

d) \(y = A \begin{bmatrix} 1-2 \\ 3-4\end{bmatrix}\)

A matriz que representa as dinâmicas de um sistema econômico tem autovalores \(0.2, 0.5, 0.7, 0.8, 1.1\).

Esse sistema deve colapsar, ficar estável, ou explodir?

Os autovetores da matriz \(A\) são as colunas da matriz de rotação:

\[ R = \begin{bmatrix} \cos{\theta} & -\sin{\theta} \\ \sin{\theta} & \cos{\theta} \end{bmatrix} \]

Os seus autovalores associados são \(1\) e \(2\). Calcule \(A\) em função de \(\theta\).