Exercícios: Vetores (Parte 3)

Objetivo: Implementar sistemas dinâmicos

Questão 1

A força gravitacional entre dois planetas tem módulo igual a:

onde \(m_1\) e \(m_2\) são as massas dos planetas, \(d\) é a distância entre eles, e \(G\) é uma constante física.

A direção da força gravitacional é de um planeta para o outro.

a) Se há dois planetas, um eles em \(\begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{bmatrix}\), e o outro em \(\begin{bmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{bmatrix}\), mostre a expressão que calcula o vetor força que é aplicado em cada um deles.

b) Se um dos planetas tem velocidade inicial \(v_1\) e o o outro tem velocidade inicial \(v_2\), encontre uma expressão que permita calcular suas velocidades após um pequeno período \(\Delta t\).

Questão 2

Um objeto está em queda livre e é afetado pela aceleração gravitacional \(g\), com direção para baixo. O chão está na altura \(x=0\) e o objeto tem velocidade inicial \(v_0\). O pseudo-código abaixo mostra uma tentativa de simular essa situação.

Avalie: o pseudo-código está correto? Se não estiver, faça as correções necessárias. Para saber se você está correto, implemente o código e verifique se o comportamento observado está correto.

v ← v0
x ← x0
enquanto x >= 0:
    x ← x - v
    v ← v - g·Δt

Questão 3

Um objeto em queda livre é afetado pela força gravitacional e também pela resistência do ar.

A aceleração gravitacional é constante e igual a \(g\). A resistência do ar tem módulo \(bv\), onde \(b\) é uma constante de arraste e \(v\) é a velocidade do objeto. O objeto tem massa \(m\).

Assumindo que o objeto está inicialmente parado:

a) Mostre as equações que permitem calcular a velocidade do objeto, sabendo os parâmetros do sistema e a sua velocidade atual, após um período \(\Delta t\).

b) Faça uma simulação (implementando as equações que você criou, com passos pequenos iguais a \(\Delta t\)) que mostre qual é a velocidade máxima que o objeto chegará. Use valores arbitrários para \(b\), \(m\) e \(g\), e assuma que a altura de queda é muito grande.