Bases

Um dos resultados mais interessantes da Álgebra Linear (pelo menos na minha opinião) é que:

\[ \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = x_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_2 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \]

Podemos demonstrar essa propriedade:

\[ \begin{array}{rl} & x_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_2 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \\ = & \begin{bmatrix} x_1 \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ x_2 \end{bmatrix} \\ = & \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} \end{array} \]

E isso significa que chegar ao vetor \(\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}\) equivale a "andar" na direção de \(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\) por uma distância \(x_1\), e depois \(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\) por uma disância \(x_2\).

Só que poderíamos escolher "andar" em outras direções - e com passos que têm comprimentos diferentes "a priori". Por exemplo, poderíamos escolher:

\[ \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = s_1 \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} + s_2 \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \end{bmatrix} \]

E isso significa que temos duas maneiras diferentes de encontrar o vetor \(\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}\).

Ok, até aqui são coisas que deveríamos ter feito anteriormente no curso. Mas, agora vamos interpretar essas equações de uma maneira diferente.

Vetores-base

Quando dizemos que:

\[ \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = x_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_2 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \]

estamos dizendo que \(\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}\) está definido pelos vetores-base \(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\) e \(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\).

Um vetor. Muitas bases.

Quando dizemos que:

\[ \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = s_1 \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} + s_2 \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \end{bmatrix} \]

estamos dizendo que o vetor \(\begin{bmatrix} s_1 \\ s_2 \end{bmatrix}\) está definido pelos vetores-base \(\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}\) e \(\begin{bmatrix} 4 \\ 5 \end{bmatrix}\).

Visualizando a mudança de base

A animação abaixo mostra a transformação contínua da base canônica para a base escolhida. O vetor V permanece fixo no plano, enquanto a malha e os vetores da base se deformam. O controle deslizante também permite observar como mudam as coordenadas de V.

Matrizes de base

Partindo de:

\[ \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = s_1 \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} + s_2 \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \end{bmatrix} \]

Ao realizar a operação do lado direito da equação, chegamos a:

\[ \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2s_1 + 4 s_2 \\ 3 s_1 + 5 s_2 \end{bmatrix} \]

Veja que agora temos um sistema:

\[ \begin{cases} \begin{array}{rl} x_1 &= 2 s_1 + 4 s_2 \\ x_2 &= 3 s_1 + 5 s_2 \end{array} \end{cases} \]

e podemos escrevê-lo na forma matricial:

\[ \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} s_1 \\ s_2 \end{bmatrix} \]

Veja como os vetores-base de \(\begin{bmatrix} s_1 \\ s_2 \end{bmatrix}\) se transformam nas colunas da matriz de coeficientes! Por isso, essa matriz é chamada de matriz de bases ou matriz de base \(B\), e temos a forma compacta:

\[ x = Bs \]

Mudança de base

Agora podemos fazer imediatamente o seguinte exercício:

Como escrever o vetor \(\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}\) na base \(\begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}\)?

Para este exercício, vamos usar imediatamente a equação:

\[ \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} s_1 \\ s_2 \end{bmatrix} \]

Escrever o vetor em outra base significa encontrar esses coeficientes que multiplicam os vetores da base nova de forma a conseguirmos reconstruir nosso vetor, isto é:

\[ \begin{bmatrix} s_1 \\ s_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} \]
Reescreva o vetor \(\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\) na base \(\begin{bmatrix} \cos(\pi/4) & -\sin(\pi/4) \\ \sin(\pi/4) & \cos(\pi/4) \end{bmatrix}\).
\[ B = \begin{bmatrix} \cos(\pi/4) & -\sin(\pi/4) \\ \sin(\pi/4) & \cos(\pi/4) \end{bmatrix} \Rightarrow B^{-1} = \begin{bmatrix} \cos(\pi/4) & \sin(\pi/4) \\ -\sin(\pi/4) & \cos(\pi/4) \end{bmatrix} \]
\[ \begin{bmatrix}s_1\\s_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos(\pi/4) & \sin(\pi/4) \\ -\sin(\pi/4) & \cos(\pi/4) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos(\pi/4) + \sin(\pi/4) \\ -\sin(\pi/4) + \cos(\pi/4) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sqrt{2} \\ 0 \end{bmatrix} \]

Vamos refletir sobre esse exercício.

O que fizemos foi encontrar uma maneira de expressar \(x\) como a soma ponderada (ou: a combinação linear) de dois vetores-base \(b_1\) e \(b_2\). Em outras palavras:

\[ x = s_1 b_1 + s_2 b_2 \]

Geometricamente, o exercício se refere a esta situação:

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Então, o que significa a resposta \(\begin{bmatrix} \sqrt{2} \\ 0 \end{bmatrix}\)? Bem, se traçarmos um plano cartesiano em que o nosso eixo horizontal representa "apontar na direção de \(b_1\)" e o eixo vertical representa "apontar na direção de \(b_2\)", então podemos representar \(x\) como:

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Um caso mais prático

(para este exercício, se precisar, use apoio computacional para fazer as contas!)

Numa loja, vendem-se pacotes do tipo P1 e do tipo P2. O pacote P1 tem 3 brigadeiros e 2 coxinhas. O pacote P2 tem 3 coxinhas e 1 brigadeiro. Gostaríamos de comprar 9 brigadeiros e 13 coxinhas.

  1. Escreva um sistema linear que mostra o número de brigadeiros e coxinhas em uma compra de uma quantidade conhecida de pacotes P1 e P2.
  2. Quantos pacotes do tipo P1 e do tipo P2 deveríamos comprar para termos 9 brigadeiros e 13 coxinhas?
  3. No plano cartesiano (brigadeiros x coxinhas), que vetor representa nossa compra?
  4. No plano cartesiano (P1 x P2), que vetor representa nossa compra?
  5. Qual é a matriz que permite converter uma compra escrita como "brigadeiros e coxinhas" para uma compra escrita como "P1 e P2"? E qual é a matriz que faz a operação inversa?

Bases e domínios

Quando escrevemos um vetor em uma base estamos definindo quais são os eixos do plano cartesiano que o definem!

Um exercício guiado

Considere o vetor \(x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}\).

Gostaríamos de escrever \(x\) na base definida pelos vetores \(v_1\) e \(v_2\), que são multiplicados respectivamente por \(y_1\) e \(y_2\).

  1. Escreva uma equação que representa imediatamente a situação acima.
  2. Passe a equação para a forma matricial.
  3. Evidencie como encontrar os coeficientes \(y_1\) e \(y_2\).

Extrapolando para n dimensões

Considere o vetor \(x \in \mathbb{R}^n\).

Gostaríamos de escrever \(x\) na base definida pelos vetores \(v_1, v_2, \cdots, v_n\). Cada um dos vetores \(v_i\) é multiplicado por um coeficiente correspondente \(y_i \in \mathbb{R}\).

  1. Escreva uma equação que representa imediatamente a situação acima.
  2. Passe a equação para a forma matricial
  3. Evidencie como encontrar os coeficientes \(y_i\)

E quando isso falha?

Usando o fluxo de pensamento que definimos no exercício anterior, verifique o que acontece quando tentamos escrever um vetor de \(3\) dimensões usando somente dois vetores de base.

  1. Qual operação do nosso processo atual fica impossível?
  2. Usando o que já sabemos sobre álgebra linear, apresente diferentes interpretações para essa situação.