Ângulos e Distâncias

Objetivo: ao fim desta atividade, o aluno deverá ser capaz de manipular vetores e transitar entre as formas polar e cartesiana

Instruções:

  • Faça essa atividade em duplas ou trios. Use a lousa, caderno, etc.
  • O tempo total da atividade é de 1h30
  • Entregue os exercício resolvidos em papel manuscrito (sulfite ou almaço), indicando o nome de todos os integrantes do grupo
  • Ao fim da atividade, teremos um teste (individual) sobre a atividade
  • A etapa "grupo" receberá nota entre 0 e 1. A etapa "individual" receberá nota entre 0 e 1. A nota final é o produto das duas notas.

Sobre esta atividade e estudo prévio

Veja que esta atividade está disponível desde o primeiro dia de aula. Isso significa que, tecnicamente, você pode fazer a atividade antes do dia marcado. Isso não é um problema. Você talvez precise desse tempo adicional - ou, talvez, você não precise ou não tenha tempo para isso. Nenhuma das atividades aqui é um grande segredo. Se precisar de material de estudo, talvez você deva buscar por princípios de trigonometria e por forma polar de vetores, e existem inúmeros vídeos e websites que podem dar boas explicações. Atente-se para os critérios de avaliação e lembre-se que a avaliação individual parte do pressuposto de que o aluno é capaz de produzir (e não simplesmente decorou) as respostas para os exercícios. Mais especificamente, a avaliação individual usará conceitos que são os que levam às respostas, e não as repostas em si. É importante investir esforço em se tornar uma pessoa capaz de aprender autonomamente, e de desenvolver métodos para determinar, de forma independente de avaliações, se os seus próprios conceitos estão corretos (por exemplo: discutir com colegas, fazer operações inversas, conferir com material didático, etc.). Esta atividade não acompanha um gabarito, mas chegar às respostas corretas envolve somente a aplicação de conceitos que já foram trabalhados nesta disciplina.

Exercício 1

Um vetor \(x\) de duas dimensões pode ser desenhado no plano cartesiano, como nesta figura:

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Veja que a "seta" desenhada tem um comprimento. O comprimento de um vetor é chamado de módulo, norma, ou simplesmente de comprimento, e é escrito usando barras verticais:

\[ ||x|| \]

Encontre uma equação capaz de encontrar o módulo de um vetor \(x \in \mathbb{R}^2\) qualquer, sabendo que:

\[ x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} \]

Exercício 2

Ao desenharmos o vetor no plano cartesiano, veja que ele faz um ângulo \(\theta\) em relação ao eixo horizontal. Esse ângulo é chamado de argumento.

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Dado um vetor:

\[ x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}, \]

encontre (e justifique explicitamente usando diagramas, desenhos, referências à trigonometria, etc.) uma equação capaz de encontrar o ângulo \(\theta\) à partir das componentes \(x_1\) e \(x_2\).

Exercício 3

Podemos escrever um vetor usando seu módulo e seu argumento usando a notação:

\[ x = ||x|| \angle \theta \]

Esta forma é chamada de "forma polar". Veja que as duas notações são igualmente válidas, isto é, sempre podemos escrever um vetor na forma cartesiana ou na forma polar:

\[ x = ||x|| \angle \theta = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} \]

Deduza as equações para encontrar \(x_1\) e \(x_2\) à partir de \(||x||\) e \(\theta\), isto é, para encontrar a forma cartesiana do vetor à partir de sua forma polar.

Exercício 4

Sabemos que, se \(\alpha \in \mathbb{R}\), então:

\[ \alpha x = \alpha \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \alpha x_1 \\ \alpha x_2 \end{bmatrix} \]

(a) Se o comprimento de \(x\) é conhecido e igual a \(||x||\), encontre \(||\alpha x||\).

(b) Se o comprimento de \(x\) é conhecido e igual a \(||x||\), encontre \(\alpha\) tal que \(|| \alpha x ||=1\).

(c) Se o argumento de \(x\) é conhecido e igual a \(\theta\), encontre o argumento de \(\alpha x\).

Exercício 5

Mostre que, se \(x = \|x\| \angle \theta\), então podemos escrever, na forma cartesiana:

\[ x = \|x\| \begin{bmatrix} \cos(\theta) \\ \sin(\theta) \end{bmatrix} \]

Exercício 6

Existem várias forças na natureza cuja intensidade depende da distância entre dois corpos. Um exemplo dessas é a força gravitacional. A força gravitacional é calculada como um vetor \(f\) tal que:

\[ ||f|| = \frac{k}{d^2}, \]

onde \(k\) é uma constante que depende das massas dos corpos e \(d\) é a distância entre os corpos. A força gravitacional aplicada sobre um dos corpos aponta na direção do outro corpo (como por exemplo no caso da Terra: a força que o Sol exerce sobre a Terra "aponta" na direção do Sol).

Suponha que temos um corpo \(x\) localizado na origem do plano cartesiano e um outro corpo localizado em:

\[ y = \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \end{bmatrix}. \]

(a) Encontre a força \(f\) gravitacional aplicada sobre o corpo \(x\) na forma cartesiana à partir de \(y_1\) e \(y_2\). Mostre passo a passo como chegar a essa conclusão.

(b) Assuma a mesma situação do ítem (a), mas com o corpo \(x\) deslocado para a posição:

\[ x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}. \]

Encontre \(f\) à partir das posições conhecidas \(x_1\), \(x_2\), \(y_1\) e \(y_2\). Mostre passo a passo como chegar a essa conclusão.