Formulário

Fórmulas e comandos mais usados nas aulas.

Vetores

Vetor em \(\mathbb{R}^n\)

\[ x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}, \quad x \in \mathbb{R}^n \]

Use os índices para falar de cada componente do vetor.

Soma de vetores

\[ x+y = \begin{bmatrix} x_1+y_1 \\ x_2+y_2 \\ \vdots \\ x_n+y_n \end{bmatrix} \]

Só faz sentido quando os dois vetores têm a mesma dimensão.

Multiplicação por escalar

\[ \alpha x = \begin{bmatrix} \alpha x_1 \\ \alpha x_2 \\ \vdots \\ \alpha x_n \end{bmatrix} \]

O escalar muda o tamanho do vetor e pode inverter o sentido.

Norma

\[ \|x\| = \sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2} \]

Também aparece como módulo ou comprimento.

Distância entre vetores

\[ d(x_i,x_q)=\|x_i-x_q\|=\sqrt{\sum_{k=1}^{n}(x_{i,k}-x_{q,k})^2} \]

Na AI, isso aparece na busca do item mais parecido com uma query.

Item mais semelhante

\[ i^*=\arg\min_i\,d(x_i,x_q) \]

Depois de encontrar \(i^*\), o banco retorna o vetor \(x_i\) mais próximo da query.

Forma polar para cartesiana

\[ x=\|x\| \begin{bmatrix} \cos(\theta) \\ \sin(\theta) \end{bmatrix} \]

Para vetores no plano.

Produto interno

\[ \langle x,y\rangle=\sum_{i=1}^{n}x_i y_i=\|x\|\|y\|\cos(\phi) \]

Se o produto interno é zero, os vetores são ortogonais.

Projeção de \(y\) sobre \(x\)

\[ p=\frac{x}{\|x\|}\,\|y\|\cos(\phi) \]

É a parte de \(y\) que aponta na direção de \(x\).

Força gravitacional

\[ \|F\|=G\frac{m_1m_2}{d^2} \]

A direção é dada pelo vetor que liga um corpo ao outro.

Matrizes e sistemas

Matriz

\[ X\in\mathbb{R}^{m\times n}, \quad x_{i,j}\text{ fica na linha }i\text{ e coluna }j \]

Linhas e colunas definem se uma multiplicação é possível.

Soma e escalar

\[ Z=X+Y\Rightarrow z_{i,j}=x_{i,j}+y_{i,j}, \quad Z=aX\Rightarrow z_{i,j}=a x_{i,j} \]

A soma exige matrizes de mesmo tamanho.

Multiplicação matricial

\[ Z=XY, \quad z_{i,j}=\sum_{k=1}^{n}x_{i,k}y_{k,j} \]

Colunas de \(X\) precisam bater com linhas de \(Y\).

Transposta

\[ (X^T)_{j,i}=x_{i,j}, \quad (XY)^T=Y^T X^T \]

A transposta troca linhas por colunas.

Identidade

\[ AI=A=IA \]

A identidade é o elemento neutro da multiplicação.

Inversa

\[ AB=I\Rightarrow B=A^{-1}, \quad Ax=y\Rightarrow x=A^{-1}y \]

Só existe quando a matriz é inversível.

Sistema dinâmico

\[ x_{t+1}=Ax_t \]

A matriz \(A\) transforma o estado atual no próximo estado.

Cadeia de Markov

\[ P_{t+1}=AP_t, \quad P_{t+k}=A^kP_t \]

Na AI, isso aparece como a probabilidade do turista depois de várias horas.

Colunas de matriz de transição

\[ a_{i,j}=P(\text{estado }i\text{ em }t+1\mid\text{estado }j\text{ em }t), \quad \sum_i a_{i,j}=1 \]

Na AF, a soma \(1\) significa que alguém que sai de um estado precisa ir para algum estado.

Movimento com aceleração

\[ s_{t+1}=s_t+\Delta t\,v_t, \quad v_{t+1}=v_t+\Delta t\,a_t \]

Usado nas simulações de movimento e confetes.

Determinantes e transformações

Determinante \(2\times2\)

\[ \det \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} =ad-bc \]

Se \(\det(A)=0\), \(A\) não tem inversa.

Reta

\[ y=ax+b, \quad Ax+By+C=0 \]

Sistemas \(2\times2\) podem ser vistos como interseções de retas.

Retas paralelas em sistema \(2\times2\)

\[ \begin{cases} a_1x+b_1y=c_1\\ a_2x+b_2y=c_2 \end{cases} \quad \text{sao paralelas quando} \quad a_1b_2-a_2b_1=0 \]

Na AI, para a matriz \(\begin{bmatrix}1&3\\D&9\end{bmatrix}\), isso dá \(9-3D=0\).

Área transformada

\[ \operatorname{area}(AX)=|\det(A)|\,\operatorname{area}(X) \]

O determinante mede o fator de escala de área.

Rotação

\[ R_\theta= \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \]

Rotaciona pontos ao redor da origem.

Soma e diferença de arcos

\[ \sin(\theta\pm\phi)=\sin\theta\cos\phi\pm\cos\theta\sin\phi \]
\[ \cos(\theta\pm\phi)=\cos\theta\cos\phi\mp\sin\theta\sin\phi \]

Identidades usadas na AI para manipular matrizes de rotação.

Identidades trigonométricas

\[ \cos(-\theta)=\cos\theta, \quad \sin(-\theta)=-\sin\theta, \quad \cos^2\theta+\sin^2\theta=1 \]

Aparecem diretamente na questão de rotação da AI.

Inversa da rotação

\[ R_\theta^{-1}=R_{-\theta}= \begin{bmatrix} \cos\theta & \sin\theta\\ -\sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \]

Se \(A=\begin{bmatrix}x&-y\\y&x\end{bmatrix}\) é rotação, então \(A^{-1}=\begin{bmatrix}x&y\\-y&x\end{bmatrix}\).

Escala

\[ A= \begin{bmatrix} s_x & 0\\ 0 & s_y \end{bmatrix} \]

Multiplica \(x\) por \(s_x\) e \(y\) por \(s_y\).

Coordenadas homogêneas

\[ \begin{bmatrix} a & b & \Delta x\\ c & d & \Delta y\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y\\1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} p\\q\\1 \end{bmatrix} \]

Permite representar translação como multiplicação matricial.

Remover componente de cor

\[ p'_{RGB}=T^{-1} \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix} Tp_{RGB} \]

Na AI, \(T\) leva RGB para XYZ; a matriz do meio zera a componente \(Y\).

Composição de transformações

\[ Y=ARX \quad \text{e} \quad Y=RAX \]

A ordem importa: em geral, \(ARX\) e \(RAX\) geram efeitos diferentes.

Bases e autovetores

Combinação linear

\[ x=a_1v_1+a_2v_2+\cdots+a_nv_n \]

Escreve um vetor como soma ponderada de outros vetores.

Matriz de base

\[ x=Bs, \quad B= \begin{bmatrix} |&|&&|\\ b_1&b_2&\cdots&b_n\\ |&|&&| \end{bmatrix} \]

As colunas de \(B\) são os vetores-base.

Mudança de base

\[ s=B^{-1}x \]

Encontra as coordenadas de \(x\) na base \(B\).

Autovetor e autovalor

\[ Av=\lambda v \]

A matriz só muda a escala do autovetor.

Decomposição por autovetores

\[ A=PQP^{-1} \]

\(P\) guarda autovetores; \(Q\) guarda autovalores na diagonal.

Potências por autovalores

\[ A^k=PQ^kP^{-1}, \quad Q^k=\operatorname{diag}(\lambda_1^k,\ldots,\lambda_n^k) \]

Na AF, isso ajuda a decidir se um sistema dinâmico cresce, estabiliza ou vai a zero.

Autovetores da base padrão

\[ v_1=e_1,\quad v_2=e_2 \Rightarrow P=I, \quad A=\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2) \]

Na AF, com autovalores \(5\) e \(\pi\), a matriz é diagonal.

Inversa por autovalores

\[ A^{-1}=PQ^{-1}P^{-1} \]

Inverter \(A\) equivale a usar escalas inversas na base dos autovetores.

Regressão e modelos físicos

Modelo linear

\[ \hat{y}=ax+b \]

\(a\) é inclinação; \(b\) é intercepto.

Erro

\[ e_i=y_i-\hat{y}_i, \quad e=y-\hat{y} \]

Diferença entre medição e estimativa.

Erro quadrático médio

\[ \mathrm{EQM}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\|e_i\|^2=\frac{1}{n}e^Te \]

Quanto menor, melhor o ajuste no conjunto medido.

Pseudoinversa

\[ X^+=(X^TX)^{-1}X^T, \quad w^T=X^+y \]

Calcula os parâmetros do modelo por matrizes.

Sistema sobredeterminado

\[ y=Xw, \quad X\in\mathbb{R}^{m\times n}, \quad m>n \Rightarrow w=X^+y \]

Na AF, aparece quando há mais equações do que incógnitas a estimar.

Modelo com raiz

\[ n_i=a\sqrt{t_i}+b \]
\[ X= \begin{bmatrix} \sqrt{t_1}&1\\ \sqrt{t_2}&1\\ \vdots&\vdots\\ \sqrt{t_m}&1 \end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix} a\\b \end{bmatrix} = X^+n \]

Na AF, transforma a estimativa de \(a\) e \(b\) em regressão linear.

Regressão polinomial

\[ \hat{y}= \begin{bmatrix} x^2 & x & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a\\b\\c \end{bmatrix} \]

Adicione colunas para os termos do modelo.

Movimento uniformemente variado

\[ s=s_0+v_0t+\frac{at^2}{2} \]

Na queda livre, \(a\) pode representar a gravidade \(g\).

Queda livre linearizada

\[ \tau=\frac{t^2}{2}, \quad s=a\tau \]

Transforma a estimação da gravidade em regressão linear.

Velocidade terminal

\[ v=\frac{mg}{\beta} \]

Aparece quando gravidade e arraste se equilibram.

Informação e Python

Probabilidade de símbolo

\[ P(s\mid texto)= \frac{\text{ocorrencias de }s}{\text{total de simbolos}} \]

Base para construir a árvore de Huffman.

Frequência no Huffman

\[ p_i=\frac{n_i}{N} \]

Na AF, é o primeiro passo para construir a árvore da palavra.

Quantização de áudio

\[ \hat{x}_n=Q(x_n), \quad \hat{x}_n\in\{q_1,q_2,\ldots,q_m\} \]

Na AF, quantizar transforma amostras contínuas em um alfabeto finito para Huffman.

Tamanho com código fixo

\[ \text{bits}= \text{caracteres}\times\text{bits por caractere} \]

Comparação direta com códigos de tamanho variável.

Tamanho médio de código

\[ L=\sum_i p_i\ell_i \]

\(p_i\) é a frequência; \(\ell_i\) é o tamanho do código do símbolo.

Taxa de compressão

\[ \text{taxa}= \frac{\text{bits comprimidos}}{\text{bits originais}} \]

Valores menores indicam mais compressão.

Operações em NumPy

  • A @ x: multiplicação matricial
  • np.dot(x, y): produto interno
  • np.linalg.norm(x): norma

Álgebra linear em NumPy

  • np.linalg.det(A): determinante
  • np.linalg.inv(A): inversa
  • np.linalg.pinv(X): pseudoinversa
  • np.linalg.eig(A): autovalores e autovetores