Determinantes e seu significado geométrico

Talvez você se lembre do determinante de matrizes que talvez tenha aprendido no ensino médio. O determinante da matriz é um número relacionado à matriz, e vamos estudar seu significado. Para isso, usaremos o caso de matrizes \(2 \times 2\), sabendo que esse significado pode ser extrapolado para matrizes de dimensão mais alta.

Significado geométrico: intersecção de retas

As equações de primeiro grau são aquelas que relacionam uma variável de entrada (\(x\)) a uma saída (\(y\)) por meio de um polinômio de primeiro grau como:

Esse tipo de equação também é chamado de "equação da reta". O motivo disso é que os pontos \((x_0,y_0)\) que satisfazem a essa equação se organizam em uma reta.

Uma outra forma de escrever a equação da reta é usar a forma geral:

Nesse caso, para traçar a reta, é preciso isolar \(y\) e então proceder normalmente.

Esboce (manualmente), na mesma figura, as retas:

1. \(y = 0.5x\)
2. \(y = 1 - 0.5x\)
3. \(2y - 2 - x = 0\)
4. \(y = 2\)

Problema: onde corredores se encontram?

Dois corredores estão correndo por uma trilha. Um deles parte da marcação do km 3, e corre a 5km/h. O outro deles parte da marcação do km 5 e corre a 2km/h, na mesma direção do primeiro. Para encontrar a posição na estrada e o instante em que eles vão se encontrar, podemos modelar o problema como um sistema de equações e resolvê-lo normalmente.

1. Após quanto tempo os corredores se encontrarão?
2. Em que local da trilha os corredores se encontrarão?
3. Esboce as retas que representam os movimentos dos corredores
4. Qual é o ponto em que as retas se encontram?
5. Qual é a relação desse ponto de encontro com a solução do sistema linear?

Formulação matricial do problema

Da forma matricial para equações da reta

O sistema de equações abaixo, escrito na forma matricial, determina duas retas. Encontre a equação das retas e determine (use um script Python, e depois confira manualmente se a resposta está correta) o ponto em que elas se cruzam:

Retas paralelas

Dizemos que duas retas são paralelas quando seus coeficientes angulares (o "\(a\)" na equação \(y=ax+b\)) é igual. Por exemplo:

1. Determine \(c \in \mathbb{R}\) abaixo para que as retas relacionadas ao sistema sejam paralelas:

   $$\begin{cases} \begin{array}{rl} y &= 3x + 6 \\ y &= cx + 12 \end{array} \end{cases}$$

2. Determine \(c \in \mathbb{R}\) abaixo para que as retas relacionadas ao sistema sejam paralelas:

   $$\begin{cases} \begin{array}{rl} y &= 3x + 6 \\ 10 &= cx + 12 + 2y \end{array} \end{cases}$$

3. Determine \(c \in \mathbb{R}\) abaixo para que as retas relacionadas ao sistema sejam paralelas:

   $$\begin{bmatrix} 1 & 2\\ c & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 17 \\ 23 \end{bmatrix}$$

4. Determine qual deve ser a relação entre \(a\), \(b\), \(c\) e \(d\) abaixo para que as retas relacionadas ao sistema sejam paralelas:

   $$\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \beta_1 \\ \beta_2 \end{bmatrix}$$

Significado geométrico: áreas de formas

Neste estudo, verificaremos o que acontece com áreas de polígonos na multiplicação matricial. Para isso, vamos partir de criar uma núvem de pontos:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.random.uniform(-0.5, 0.5, size=(2, 600))
plt.figure()
plt.scatter(x[0,:], x[1,:], s=1, c='r')
plt.xlim([-2, 2])
plt.ylim([-2, 2])
plt.grid()
plt.show()

Veja que x contém vários pontos (1 ponto por coluna). Mas, gostaríamos de verificar o que acontece com nossa núvem de pontos quando multiplicamos por uma matriz \(A\). Em outras palavras, gostaríamos de fazer:

que pode ser interpretado como aplicar a matriz \(A\) sobre cada uma das colunas de \(X\), ou:

Podemos implementar essa situação para a matriz \(A=\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}\) com o código:

x = np.random.uniform(-0.5, 0.5, size=(2, 600))
A = np.array([ [2, 0], [0, 2] ])
y = A @ x
plt.figure()
plt.scatter(x[0,:], x[1,:], s=1, c='r')
plt.scatter(y[0,:], y[1,:], s=1, c='b')
plt.xlim([-2, 2])
plt.ylim([-2, 2])
plt.grid()
plt.show()

Veja que isso levou a termos duas núvens de pontos: a vermelha, correspondente aos pontos originais, e a azul, correspondente aos pontos transformados.

Transforme a núvem de pontos anterior, experimentando independentemente cada uma das candiatas a matriz \(A\) abaixo. Use os seguintes valores para \(D\): \(1\), \(1.5\), \(2\), \(0\). Para cada valor de \(D\) na matriz, calcule o determinante da matriz e a área da núvem de pontos resultante.