Transformações Afins

Objetivo: ao fim desta atividade, o aluno deverá ser capaz de construir transformações lineares afins para gerar efeitos geométricos conhecidos.

Instruções:

  • Faça essa atividade em duplas ou trios. Use a lousa, caderno, etc.
  • O tempo total da atividade é de 1h30
  • Entregue os exercício resolvidos em papel manuscrito (sulfite ou almaço), indicando o nome de todos os integrantes do grupo
  • Ao fim da atividade, teremos um teste (individual) sobre a atividade
  • A etapa "grupo" receberá nota entre 0 e 1. A etapa "individual" receberá nota entre 0 e 1. A nota final é a média geométrica entre as duas.

Sobre esta atividade e estudo prévio

Nesta atividade, estamos falando de transformações afins (affine transforms).

Exercício 1

Vamos partir de uma núvem de pontos \(X \in \mathbb{R}^{2 \times n}\). Gostaríamos de gerar uma outra núvem \(Y \in \mathbb{R}^{2 \times n}\) usando uma matriz \(A \in \mathbb{R}^{2 \times 2}\) através da equação:

\[ Y = AX \]

Nessas condições, dizemos que \(A\) representa uma transformação linear aplicada sobre \(X\). Podemos simular essa situação usando:

import numpy as np 
import matplotlib.pyplot as plt 

x = np.random.uniform(-0.5, 0.5, size=(2, 600))
A = np.array([ [2, 0], [0, 2] ])
y = A @ x
plt.figure()
plt.scatter(x[0,:], x[1,:], s=1, c='r')
plt.scatter(y[0,:], y[1,:], s=1, c='b')
plt.xlim([-2, 2])
plt.ylim([-2, 2])
plt.grid()
plt.show()
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Existem algumas transformações que são conhecidas por seus nomes:

  • Rotação (girar ao redor da origem)
  • Cisalhamento (deslocar um dos eixos na direção do outro exiso)
  • Expansão ou contração (no eixo X e/ou no eixo Y)

Usando o código acima como base, identifique as matrizes, dentre as abaixo, que correspondem a rotações, cisalhamentos, expansões ou contrações:

\[ \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0.86 & -0.5\\ 0.5 & 0.86 \end{bmatrix} \]

Exercício 2: contrações e expansões

Uma matriz na forma:

\[ A = \begin{bmatrix} s_1 & 0 \\ 0 & s_2 \end{bmatrix} \]

pode ser usada para realizar contrações e expansões. Veja que:

\[ \begin{bmatrix} s_1 & 0 \\ 0 & s_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s_1 x_1 \\ s_2 x_2 \end{bmatrix} \]

Use esse processo para mapear uma núvem de pontos, inicialmente contida em um quadrado, para um retângulo de altura igual à metade do lado do quadrado e área igual à do quadrado. Em sua resposta (na folha separada) mostre a matriz \(A\) e esboce os formatos das núvens de pontos (inicial e final).

Exercício 3: rotações

Agora, deduziremos o conteúdo de uma matriz de rotação. Talvez você precise das equações de seno e/ou cosseno da soma de arcos para alguns passos.

Neste exercício, trabalharemos com a rotação ao redor da origem. Na rotação, gostaríamos de multiplicar um vetor por uma matriz de forma que o resultado tem o mesmo módulo mas o argumento é somado de \(\theta\), ou:

\[ x = r \angle \phi \Rightarrow y = Rx = r \angle (\phi+\theta) \]
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Nessa formulação, temos que:

\[ \begin{bmatrix} r \cos{(\phi+\theta)} \\ r \sin{(\phi+\theta)} \end{bmatrix} = R \begin{bmatrix} r \cos{\phi} \\ r \sin{\phi} \end{bmatrix} \]

Mostre que, nessas condições:

\[ R = \begin{bmatrix} \cos {\theta} & -\sin {\theta}\\ \sin {\theta} & \cos {\theta} \end{bmatrix} \]

Exercício 4: transformação composta

Partindo de uma núvem de pontos \(X\) contida em um quadrado, podemos aplicar uma contração de \(0.5\) no eixo horizontal com uma matriz \(A\), gerando \(Y=AX\). Após, podemos rotacionar a núvem de pontos \(Y\) de 45 graus no sentido anti-horário usando uma matriz de rotação \(R\), gerando \(Z=RY\).

a) Demonstre que \(Z = RAX\)

b) Demonstrando que a multiplicação de matrizes não é comutativa, esboce a núvem \(Z = RAX\) e, após, a núvem \(W = ARX\). Use apoio computacional para verificar os dois casos.

Exercício 5: translações e coordenadas homogêneas

Antes de prosseguir com essa exposição, vamos refletir sobre o que significa uma multiplicação matricial. Neste exemplo:

\[ \begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} p \\ q \end{bmatrix} \]

devemos lembrar que as componentes \(p\) e \(q\) são calculadas por:

\[ \begin{cases} \begin{aligned} p &= ax + by\\ q &= cx + dy \end{aligned} \end{cases} \]

Como já vimos, essa operação funciona para a rotação, expansão/compressão e cisalhamento.

Porém, para fazer uma translação, ainda precisamos de somar um vetor, isto é:

$$ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \Delta x \\ \Delta y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} p \\ q \end{bmatrix} $$

Então, se quisermos combinar uma translação com uma rotação, a operação que fazemos é:

\[ \begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \Delta x \\ \Delta y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} p \\ q \end{bmatrix} \]

e isso pode ser escrito na forma de um sistema como:

\[ \begin{cases} \begin{aligned} p &= ax + by + \Delta x\\ q &= cx + dy + \Delta y \end{aligned} \end{cases} \]

Vamos usar a seguinte ideia: adicionaremos uma dimensão ao nosso vetor de posição. Essa nova dimensão sempre tem valor 1. Essa dimensão só serve para conseguirmos "encaixar" a translação no mesmo esquema matemático, e não é representada quando plotamos nossos vetores. Daí, podemos re-escrever esse sistema como:

\[ \begin{bmatrix} a & b & \Delta x\\ c & d & \Delta y \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} p \\ q \\ 1 \end{bmatrix} \]

A vantagem dessa abordagem é que agora podemos incorporar translações entre as nossas transformações implementadas por multiplicação matricial. A desvantagem é que agora nossas matrizes de transformação, que eram \(2 \times 2\), passam a ser \(3 \times 3\) e devem ser completadas da seguinte forma:

\[ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix} a & b & 0\\ c & d & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \]

Com base nisso, podemos criar nossa núvem de pontos adicionando uma linha de \(1\)'s, mantendo a compatibilidade da multiplicação matricial, e, ao desenhar os pontos, ignoramos essa dimensão adicional:

X = np.vstack( (np.random.uniform(-0.5, 0.5, size=(2, 600)), np.ones( (1,600) )))

plt.figure()
plt.scatter(X[0,:], X[1,:], s=1, c='r')
plt.xlim([-2, 2])
plt.ylim([-2, 2])
plt.grid()
plt.show()
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Quando adicionamos essa nova dimensão, dizemos que estamos operando em coordenadas homogêneas.

Pausa para conferir as contas!

Verifique que a matrix: \(\begin{bmatrix} 0.5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\) executa uma contração no eixo horizontal.

Encontre as matrizes (em coordenadas homogêneas) para realizar as seguintes operações (se precisar, confira suas respostas implementando código computacional!).

a) uma expansão de 5 vezes no eixo vertical.

b) uma rotação de 30 graus no sentido anti-horário ao redor da origem

c) uma translação de \(\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}\)

Exercício 6: rotações ao redor de pontos arbitrários

A matriz de rotação \(R\) que deduzimos anteriormente realiza a rotação ao redor da origem. Porém, podemos fazer uma rotação ao redor de um ponto arbitrário combinando as seguintes transformações:

  1. Transladar o ponto de "centro" da rotação até a origem
  2. Realizar a rotação
  3. Transladar o centro da rotação até sua posição original

isto é, realizamos uma operação como: \(Y = T R T^{-1} X\).

Usando essa estratégia, rotacione a núvem de pontos abaixo ao redor de seu próprio centro de 45 graus usando uma única operação \(Y = QX\). Em sua resposta, explicite todos os passos que são necessários para gerar a matriz \(Q\). Gostaríamos de obter um resultado parecido com:

No description has been provided for this image 
X = np.vstack( (np.random.uniform(1.5, 2.5, size=(2, 600)), np.ones( (1,600) )))

plt.figure()
plt.scatter(X[0,:], X[1,:], s=1, c='r')
plt.xlim([-2, 4])
plt.ylim([-2, 4])
plt.grid()
plt.show()
No description has been provided for this image