Exercícios de revisão
Transformações
Teoria
No espaço \(\mathbb{R}^3\), há três eixos, que vamos chamar - exclusivamente neste exercício - de \(x\), \(y\) e \(z\).
a) Deduza como encontrar uma matriz \(R\) que realiza a rotação de um vetor em \(\mathbb{R}^3\) ao redor da origem e ao redor do eixo \(x\). A rotação é de um ângulo arbitrário \(\theta\). Para isso (i) desenhe a situação para visualizá-la corretamente; (ii) identifique os ângulos, módulos, etc., que forem relevantes para a sua solução; (iii) encontre as equações que definem as novas coordenadas \(x_1\), \(y_1\), \(z_1\) do vetor rotacionado; (iv) passe as equações para o formato matricial.
b) Suponha que temos um cubo com centro no ponto \((5, 5, 5)\). Se ele for rotacionado de 45 graus somente aplicando a matriz que você encontrou no ítem (a), qual será a figura encontrada?
c) Podemos definir uma matriz de translação \(T\) que leva o centro da figura a rotacionar para a origem. Essa matriz tem uma dimensão a mais que o vetor a ser transladado, isto é, uma matriz de translação em \(\mathbb{R}^3\) tem formato \(4 \times 4\). Que ajuste deve ser feito ao vetor original para que ele possa ser multiplicado pela matriz de translação? Justifique sua resposta partindo do princípio de funcionamento da translação (que é somar constantes a cada uma das dimensões).
d) Uma rotação do vetor \(v_0\) ao redor de um ponto arbitrário \((x_c, y_c, z_c)\) pode ser realizada usando: \(v_1 = T^{-1} R T v_0\). Escreva explicitamente as matrizes \(T^{-1}\), \(R\) e \(T\).
Prática
Um quadrado de lado 1 está em \(\mathbb{R}^2\) e tem centro em \((2,3)\). Gostaríamos de transformá-lo em um retângulo de lados 5 (horizontal) e 6 (vertical), ainda centrado em \((2,3)\), usando uma multiplicação matricial. Mostre, passo a passo, como encontrar a matriz que realiza essa transformação.
Projeto
Faça os dois projetos opcionais (enigma e ponto de vista do jogo) relacionados a esta matéria.
Vetores
Teoria
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Suponha que temos dois vetores: \(v = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix}\) e \(w=\begin{bmatrix} 5 \\ 6 \\ 7 \\ 8 \end{bmatrix}\). Encontre o cosseno do ângulo entre \(v\) e \(w\).
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Suponha que temos dois vetores: \(v = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix}\) e \(w=\begin{bmatrix} 5 \\ 6 \\ 7 \\ x \end{bmatrix}\). Encontre \(x\) para que \(v\) seja ortogonal a \(w\).
Prática
Sistemas modernos de Machine Learning usam uma representação chamada de embedding, em que cada ítem de uma coleção é representado por um vetor e o cosseno do ângulo entre dois vetores representa a semelhança semântica entre eles.
a) Considere vetores representando dois conceitos próximos (exemplo: cachorro e gato), e um conceito completamente diferente (mitocôndria). Faça um desenho ilustrando como o cosseno do ângulo entre esses vetores deveria representar essas semelhanças e diferenças semânticas.
b) Antes de usar embeddings, uma representação comum é a chamada "one-hot encoding". Nessa representação, cada ítem da coleção é representado por um vetor com tantas dimensões quantas são as possíveis variações de características de um elemento. Nesse vetor, todos os elementos são iguais a zero, exceto aquele que caracteriza o ítem em questão, que tem valor 1. No exemplo de cachorro, gato, e mitocôndria, teríamos um vetor de três dimensões (já que há três possibilidades de elementos), em que cachorro é representado por \(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}\), gato é representado por \(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\end{bmatrix}\) e mitocôndria é representada por \(\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\). Mostre que, na representação "one-hot enconding", o cosseno do ângulo entre vetores não é um proxy para a semelhança semântica entre os ítens representados.