Exercícios: Sistemas Lineares (Parte 2)

Questão 1

Coloque os sistemas abaixo em sua forma matricial:

Exemplo:

\[ \left\{ \begin{array}{rl} x + 2 \pi y &= 11\\ 2x + \pi y &= 4 \end{array} \right. \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2\pi \\ 2 & \pi \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 11 \\ 4\end{bmatrix} \]

a)

\[ \left\{ \begin{array}{rl} 3x + y &= 10\\ x + 7 &=4 \end{array} \right. \]

b)

\[ \left\{ \begin{array}{rl} 3x + y &= 10 + x + y\\ x + 7 &= 4 \end{array} \right. \]

c)

\[ \left\{ \begin{array}{rl} y + 3x &= 10\\ x + \pi &=4 \end{array} \right. \]

d)

\[ \left\{ \begin{array}{rl} x &= y\\ x + 1 &=4 \end{array} \right. \]

e)

\[ \left\{ \begin{array}{rl} x + y + z &= 1\\ 2x + 3y + 4z &= 2\\ 3x + 4y + 5z &= 0\\ \end{array} \right. \]

f)

\[ \left\{ \begin{array}{rl} x + y + z -2 &= -2\\ 4x + 3y + 4z &= 2 + 2x\\ 3x + 5z &= -4y\\ \end{array} \right. \]

Questão 2

Considere o sistema:

\[ \left\{ \begin{array}{rl} x + y &= a\\ x - y &= b \end{array} \right. \]

a) Represente o sistema em sua forma matricial, isto é, encontre a matriz \(A\) tal que:

\[ A \begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \\ b\end{bmatrix} \]

b) Resolva o sistema, encontrando \(x\) e \(y\) em termos de \(a\) e \(b\).

c) Encontre a matriz \(B\) tal que

\[ B \begin{bmatrix} a \\ b\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix} \]

d) Calcule \(Z=AB\)

Questão 3

Ao comprar 2kg de cebolas e 4kg de batatas eu gasto 8 reais. Ao comprar 5kg de batatas, eu gasto 5 reais.

a) Escreva essa situação como um sistema de equações em que as variáveis são os preços do kg da cebola e da batata.

b) Coloque seu sistema na forma matricial \(Ax=y\), onde \(x = \begin{bmatrix}\text{preço da batata} \\ \text{preço da cebola}\end{bmatrix}\).

c) Resolva seu sistema e encontre a forma matricial inversa \(y=Bx\).

d) Calcule \(Z=AB\) e, após, \(W=BA\).

Questão 4

Numa casa de chás desidratados, há dois pacotes diferentes. Um deles tem 70g de chá preto e 30g de chá verde, e custa 13 reais. No outro, há 100g de chá preto e 20g de chá verde, e custa 14 reais. Usando uma formulação matricial, encontre qual é o preço de cada 10g de chá preto e de chá verde?

Questão 5

As sardinhas do mediterrâneo têm um comportamento interessante. A cada mês, 90% de todos os ovos colocados naquele mês se tornam sardinhas filhote, e os demais morrem. Elas são presas fáceis, então somente 60% delas se tornam adultas, e as demais morrem. A cada mês de vida adulta, 20% das sardinhas morrem, e outros 20% colocam um ovo.

a) Escreva as equações que permitem calcular a quantidade de ovos (\(v\)), sardinhas filhote (\(f\)) e sardinhas adultas (\(a\)) a cada mês \(m\) assumindo que sabemos essas mesmas quantidades para o mês anterior.

Exemplo: \(f_{m+1} = 0.9 v_{m}\)

b) Escreva o sistema de equações que você encontrou no ítem anterior na sua forma matricial.