Exercícios: Sistemas Lineares (Parte 3)

Questão 1

Ana, Bárbara e Carolina são três amigas que um dia decidiram ir à praia catar conchinhas. Ana voltou com 100 conchinas, Bárbara voltou com 150, e Carolina voltou com 200, mas repararam que cada uma tinha conchinhas de uma cor diferente. Para nunca se enjoarem da conchinhas, a cada ano, elas se encontram novamente e oferecem conchinhas umas às outras. Ana dá metade de suas conchinhas para Bárbara. Bárbara dá um quarto de suas conchinhas para Carolina e um quarto para Ana. Carolina dá um terço de suas conchinhas para Ana. Assim, a cada vez que se encontram, elas misturam suas conchinhas e nunca se enjoam de seus presentes.

a) Escreva um sistema de equações que permita evidenciar quantas conchinhas cada uma das amigas terá ao fim do próximo encontro, sabendo a quantidade de conchinhas que cada uma tem atualmente.

b) Escreva esse sistema de equações na forma matricial.

c) Escreva um sistema de equações que permita saber quantas conchinhas cada uma das amigas terá daqui a dois encontros, sabendo quantas conchinhas cada um tem hoje.

d) Escreva um sistema de equações que permita saber quantas conchinhas cada uma das amigas tem hoje, sabendo a quantidade de conchinhas que ela terá no fim do próximo encontro.

Questão 2

Quando um sinal de áudio (ou: um som do ambiente) é digitalizado, ele é representado por uma sequência de números. Esses números são chamados de amostras, e podem ser colocados em uma matriz-coluna \(x\) com um número de linhas igual ao número de amostras que temos (vamos chamar essa quantidade de amostras de \(N\)). Daí, podemos manipular dessa matriz. Por exemplo, ao multiplicar as amostras todas por um escalar \(g\), alteramos a intensidade (ou: o volume) relacionado ao som que gravamos.

Quando temos dois sons diferentes (por exemplo: \(x_1\) e \(x_2\), cada um deles \(N \times 1\)) podemos colocá-los lado a lado, formando uma matriz \(N \times 2\), como em:

Representar dois sons diferentes é útil quando queremos, por exemplo, tocar sons em estéreo. Nesse caso, temos um som que vai para o canal da esquerda, e outro que vai para o canal da direita. O truque do estéreo é alterar as intensidades de cada som em cada canal, criando uma ilusão de imersão espacial.

Suponha que temos duas gravações, \(x_1\) e \(x_2\), correspondentes respectivamente ao violão e à voz de uma canção. Queremos que a voz apareça igualmente nos dois canais, mas que o violão apareça somente no canal da direita. Nesse caso:

a) Quais são as equações que permitem calcular os sons \(x_e\) e \(x_d\), que são os sons correspondentes aos canais da esquerda e da direita, respectivamente?

b) Escreva essas equações em formato matricial.

c) Proponha um procedimento para recuperar \(x_1\) e \(x_2\) à partir de \(x_e\) e \(x_d\) usando as técnicas que estudamos até o momento.