Exercícios: Geometria Analítica (Partes 2 e 3)

Questão 1 — Exercício resolvido

Tenho uma matriz \(A\) que realiza a rotação de 20 graus no sentido anti-horário em torno da origem. Que matriz executa a rotação de 80 graus no sentido horário em torno da origem?

Para resolver esse exercício, precisamos lembrar que, se \(A\) executa uma operação linear, então \(A^{-1}\) executa a operação inversa, que, neste caso, é uma rotação de 20 graus no sentido horário. Então, se \(B=A^{-1}\), podemos aplicá-la \(4\) vezes e então encontrar a rotação de 80 graus no sentido horário, isto é, a matriz que queremos é \(B^4 = A^{-4}\).

Questão 2

A matriz \(R\) executa uma rotação de 5 graus, no sentido anti-horário e em torno da origem, sobre um ponto \(x\). Qual é a rotação executada pela matrix \(R^3\)? E pela matriz \(R^{-1}\)?

Questão 3

A matriz \(R\) executa uma rotação de 1 grau, no sentido anti-horário e em torno da origem, sobre um ponto \(x_0\). Partindo de \(x_0\), aplicamos sucessivamente \(R\) obtendo \(x_1=Rx_0\), \(x_2=Rx_1=RRx_0\) e assim por diante. Qual é a forma geométrica que encontramos ao ligar os pontos \(x_i\) para \(i\) entre \(0\) e \(1000\)?

Questão 4

A matriz \(R\) executa uma rotação de 1 grau, no sentido anti-horário e em torno da origem, sobre um ponto \(x_0\). Também, temos a matriz \(C=aR\), com \(0<a<1\). Partindo de \(x_0\), aplicamos sucessivamente \(C\) obtendo \(x_1=Cx_0\), \(x_2=Cx_1=CCx_0\) e assim por diante. Qual é a forma geométrica que encontramos ao ligar os pontos \(x_i\) para \(i\) entre \(0\) e \(1000\)?

Questão 5

A matriz \(R\) executa uma rotação de 1 grau, no sentido anti-horário e em torno da origem, sobre um ponto \(x_0\). Também, temos a matriz \(C=aR\), com \(a>1\). Partindo de \(x_0\), aplicamos sucessivamente \(C\) obtendo \(x_1=Cx_0\), \(x_2=Cx_1=CCx_0\) e assim por diante. Qual é a forma geométrica que encontramos ao ligar os pontos \(x_i\) para \(i\) entre \(0\) e \(1000\)?

Questão 6

A matriz \(R\) executa uma rotação de 5 graus, no sentido anti-horário e em torno da origem, sobre um ponto \(x\). A matriz \(T\) executa uma translação de \(\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\). Qual é a operação executada pela matriz \(T^{-1}RT\)?

Questão 7

A matriz \(R\) executa uma rotação de 5 graus, no sentido anti-horário e em torno da origem. A matriz \(T_1\) executa uma translação de \(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\). A matriz \(T_2\) executa uma translação de \(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\). Como podemos calcular a matriz \(W\) que executa uma rotação de 30 graus no sentido horário ao redor do ponto \(\begin{bmatrix} -2 \\ 3 \end{bmatrix}\)?

Questão 8

A matriz \(R\) executa uma rotação de 5 graus, no sentido anti-horário e em torno da origem, sobre um ponto \(x\). A matriz \(T\) executa uma translação de \(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\).

a) Qual é a matriz \(W\) que executa uma rotação de 5 graus em torno do ponto \(\begin{bmatrix} -1 \\ 0 \end{bmatrix}\)?

b) A operação \(A\) aplica a matriz \(W\) duas vezes, isto é, \(A=W^2\). A operação \(B\) consiste em executar uma translação, duas rotações com a matriz \(R\) e então uma translação inversa, resultando na rotação de 10 graus em torno do ponto \(\begin{bmatrix} -1 \\ 0 \end{bmatrix}\). Mostre algebricamente que \(A=B\).