Estimando a Gravidade

Aprendemos a fazer um processo chamado regressão. Uma das aplicações desse processo é encontrar (ou estimar) valores para grandezas físicas à partir de observações. Nesta atividade, vamos estimar a aceleração da gravidade.

Teoria

Teoria é a maneira que acreditamos que algum fenômeno se comporta. Por exemplo: a Teoria da Gravidade é a ideia de que corpos tendem a se atrair seguindo algumas equações específicas. No contexto de um experimento, teoria se refere aos modelos matemáticos que regem os fenômenos que esperamos encontrar, e entendê-los implica em uma série de decisões práticas sobre os experimentos.

Existem muitas maneiras de estimar a aceleração da gravidade. Vamos estudar uma delas.

Movimento Uniformemente Variado

Nas nossas aulas de física do Ensino Médio, provavelmente já tivemos contato com a equação do Movimento Uniformemente Acelerado:

\[ s = s_0 + v_0 t + \frac{a t^2}{2}. \]

Podemos usar essa equação para calcular a posição de um objeto em queda livre (partindo do repouso e ignorando a resistência do ar) fazendo \(s_0=0\), \(v_0=0\) e \(a=g\), ficando com:

\[ s = \frac{a t^2}{2}. \]

Regressão Linear com pseudo-inversa

Se temos algum fenômeno do tipo \(y=ax\), e podemos medir várias entradas \(x\) e saídas correspondentes \(y\), então temos:

\[ \begin{bmatrix} \hat{y}_1 \\ \hat{y}_2 \\ \vdots \\ \hat{y}_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} a \]

ou:

\[ \hat{y} = x a \]

Podemos então estimar \(a\) usando a pseudo-inversa:

$$ \begin{array}{rl} x^T y &= (x^T x) a \\ (x^T x)^{-1} x^T y &= (x^T x)^{-1} (x^T x) a \\ (x^T x)^{-1} x^T y &= a \\ \end{array} $$

Estimação do modelo de queda livre

O uso de regressão linear implica em um fenômeno \(y=ax\), mas a equação da queda livre modela um termo quadrático \(s=\frac{at^2}{2}\).

Porém, podemos usar uma variável auxiliar \(\tau = \frac{t^2}{2}\), de forma que:

\[ s=a \tau \]

Portanto, podemos estimar \(a\) através da formulação matricial:

\[ \begin{bmatrix} s_1 \\ s_2 \\ \vdots \\ s_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \tau_1 \\ \tau_2 \\ \vdots \\ \tau_n \end{bmatrix} a \]

Método

Veja como a teoria implica imediatamente em um método para encontrar a aceleração da gravidade:

  1. Para usar a equação matricial, precisamos de vários valores de \(s_i\) e \(t_i\) correpondentes. Portanto, precisamos medir o tempo de queda para diferentes alturas e anotar o resultado.
  2. Para usar a formulação linear, precisamos calcular \(\tau_i = t^2_i/2\) para cada valor de tempo medido
  3. Após, usamos a pseudo-inversa para encontrar o valor de \(a\).

Antes de prosseguir...

O método para encontrar \(a\) só é eficaz se você for capaz de responder por que cada uma das etapas é relevante. Discuta com sua equipe por que cada uma das etapas do método é importante!

Atividade

  1. Defina um procedimento para coletar os dados necessários de tempo de queda e altura.
  2. Consiga os materiais necessários.
  3. Execute o procedimento de coleta de dados!
  4. Use o procedimento de pseudo-inversa para encontrar a aceleração da gravidade na sua sala.