Revisão

Faça as atividades abaixo em dupla ou trio. A atividade deve ser resolvida em uma lousa e todos os membros do grupo devem participar da resolução.

Atividades de retomada

Transformações

Uma núvem de pontos é representada na matriz \(X \in \mathbb{R}^{2 \times 100}\). Os pontos estão uniformemente distribuídos em um quadrado de lado 1 centrado na origem. Definimos também as matrizes:

\[ A = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \]

e

\[ R = \begin{bmatrix} \cos(\pi/4) & -\sin(\pi/4) \\ \sin(\pi/4) & \cos(\pi/4) \end{bmatrix} \]

Esboce o espaço ocupado pela núvem de pontos \(Y\) nos seguintes casos:

a) \(Y = AX\)

b) \(Y = RX\)

c) \(Y = ARX\)

d) \(Y = RAX\)

e) \(Y = A^{-1}X\)

Ciclos de vida

As sardinhas do mediterrâneo podem ser encontradas na forma de ovos, crianças, ou adultos. Tipicamente, a cada semana:

  1. A cada 100 ovos, 80 se tornam crianças (e os restantes são predados).
  2. A cada 100 crianças, 60 se tornam adultos (e as restantes são predadas).
  3. Cada 100 adultos colocam, em média, 150 ovos fecundados.
  4. A cada 100 adultos, 10 morrem naturalmente.

a) No diagrama abaixo, marque o valor de \(x\) e \(y\):

graph LR V[ovo] --> |0.8| C[criança]; C --> |x| A[adulto]; A --> |1.5| V; A --> |y| A;

b) Expresse o ciclo de vida das sardinhas do mediterrâneo na forma de um sistema de equações dinâmicas que permita calcular a quantidade de ovos, crianças e adultos em um mês com base nas quantidades de ovos, crianças e adultos no mês anterior.

c) Escreva o sistema que você definiu na forma matricial.

d) Uma mergulhadora, morando à beira do mar, gosta de comer sardinhas. Porém, para cada sardinha que ela come, ela joga um novo ovo de sardinha no mar. Em média, a cada semana, ela come 50 sardinhas e joga no mar 50 novos ovos. Reescreva o sistema de equações e sua forma matricial de forma a incorporar a interferência da mergulhadora.

Atividades de reflexão

Coordenadas homogêneas

As coordenadas homogêneas são obtidas quando escrevemos o sistema:

\[ \begin{cases} \begin{aligned} p &= ax + by + \Delta x\\ q &= cx + dy + \Delta y \end{aligned} \end{cases} \]

na forma matricial:

\[ \begin{bmatrix} a & b & \Delta x\\ c & d & \Delta y \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} p \\ q \\ 1 \end{bmatrix} \]

Imagine que você tem um colega que apenas decorou essa relação, e está contente em usar isso para a prova. Porém, esse colega imagina que na prova vai cair alguma questão em que será preciso entender por que esse passo de converter o sistema em uma multiplicação matricial é válido, e mais, por que aquela dimensão adicional com valor \(1\) surge nesse processo. Tente explicar para seu colega como realizar essa transformação usando somente definições mais elementares, como soma e multiplicação de matrizes.

Rotações ao redor de um ponto arbitrário

Quando queremos fazer uma rotação ao redor de um ponto arbitrário \(\begin{bmatrix}p_1\\p_2\end{bmatrix}\), não podemos simplesmente usar a matriz de rotação usual $ R = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix}$. Ao invés disso, precisamos transformá-la em uma matriz com coordenadas homogêneas e combiná-la com matrizes de translação.

a) Escreva (e use desenhos, se for necessário) por que é preciso realizar translações, e quais são elas.

b) Como encontramos uma matriz \(Q\) para realizar uma rotação de um ângulo \(\theta\) ao redor do ponto \(\begin{bmatrix}p_1\\p_2\end{bmatrix}\)?

Trigonometria

Uma matriz de rotação que rotaciona pontos ao redor da origem de um ângulo \(\theta\) tem a forma:

\[ R = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix} \]

a) Demonstre (matematicamente) que a matriz \(R^2=RR\) realiza a rotação de um ângulo \(2\theta\). Após, escreva em português uma interpretação geométrica para essa propriedade.

b) Demonstre (matematicamente) que, se \(\theta=\pi/4\), então \(R^8=I\). Após, discuta se essa propriedade é condizente com a interpretação geométrica que você trouxe no ítem (a).