Exercícios: Sistemas Lineares (Parte 1)
Objetivo: modelar operações em vetores usando produtos internos e multiplicações matriciais
Questão 1
Calcule \(x\) nos casos abaixo:
a) $ x = \left\langle \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix} \right\rangle$
b) $ x = \left\langle \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1 \\ -2 \end{bmatrix} \right\rangle$
c) $ \left\langle \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} x \\ 1 \end{bmatrix} \right\rangle = 0$
d) $ \left\langle \begin{bmatrix} a \\ 2a \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} x \\ 1 \end{bmatrix} \right\rangle = a$
e) \(X = \left\langle \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ -2 \\ 0 \end{bmatrix} \right\rangle\)
f) \(X = \left\langle \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix}, 5\begin{bmatrix} 2 \\ -2 \\ 0 \end{bmatrix} \right\rangle\)
g) \(X = \left\langle -2\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix}, 5\begin{bmatrix} 2 \\ -2 \\ 0 \end{bmatrix} \right\rangle\)
Questão 2
Calcule \(x\) nos casos abaixo:
a) \(x = \left| \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} \right|\)
b)
\[
y = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}, \quad z = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad x = | z-y |
\]
c)
\[
y = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}, \quad z = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad x = | z-y\langle z,y\rangle |
\]
d)
\[
y = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}, \quad z = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad u = \frac{y}{|y|}, \quad v = \frac{z}{|z|}, \quad x = \langle u, v \rangle
\]
Questão 3
Dizemos que dois vetores \(x\) e \(y\) são ortogonais se \(\langle x,y\rangle=0\). Calcule \(a\) para que os vetores \(x\) e \(y\) abaixo sejam ortogonais:
\[
x = \begin{bmatrix} a \\ a \\ 1 \end{bmatrix}, \quad y = \begin{bmatrix} a \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix}
\]
Questão 4
Calcule X nos casos abaixo:
a)
\[
X = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\
3 & 4
\end{bmatrix} +
\begin{bmatrix} 4 & 3 \\
2 & 1
\end{bmatrix}
\]
b)
\[
X = 5 \begin{bmatrix} 1 & 2 \\
3 & 4
\end{bmatrix} +
\begin{bmatrix} 4 & 3 \\
2 & 1
\end{bmatrix}
\]
c)
\[
X = 5 \left(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\
3 & 4
\end{bmatrix} +
\begin{bmatrix} 4 & 3 \\
2 & 1
\end{bmatrix}\right)
\]
d)
\[
X = 5 \begin{bmatrix} 1 & 2 \\
3 & 4
\end{bmatrix} +
\begin{bmatrix} 4 & 3 \\
2 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & 1 \\
1 & 1
\end{bmatrix}
\]
e)
\[
X = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\
3 & 4
\end{bmatrix} +
\begin{bmatrix} 4 & 3 \\
2 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\]
f)
\[
X = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\
2 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 2 & 0 \\
0 & 2
\end{bmatrix}
\]
g)
\[
X = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\
0 & \frac{1}{2}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 2 & 0 \\
0 & 2
\end{bmatrix}
\]
h)
\[
X = \begin{bmatrix} 0 & \frac{1}{2} \\
\frac{1}{2} & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 0 & 2 \\
2 & 0
\end{bmatrix}
\]
i)
\[
X = 5 \left( \begin{bmatrix} 1 & 2 \\
3 & 4
\end{bmatrix} +
\begin{bmatrix} 4 & 3 \\
2 & 1
\end{bmatrix} \right)
\begin{bmatrix} 1 \\
1
\end{bmatrix}
\]
j)
\[
X = 5 \left( \begin{bmatrix} 1 & 2 \\
3 & 4
\end{bmatrix} +
\begin{bmatrix} 4 & 3 \\
2 & 1
\end{bmatrix} \right)
\begin{bmatrix} 1 & 1
\end{bmatrix}^T
\]
k)
\[
X = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\
3 & 4
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & 2 \\
3 & 4
\end{bmatrix} ^{-1}
\]
l)
\[
X = 10 \left( \begin{bmatrix} 1 & 2 \\
3 & 4
\end{bmatrix} +
\begin{bmatrix} 4 & 3 \\
2 & 0
\end{bmatrix} \right)
\begin{bmatrix}
5 & 5 \\
5 & 4
\end{bmatrix}^{-1}
\begin{bmatrix} 1 & 1
\end{bmatrix}^T
\]
m)
\[
X = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\
3 & 4
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} a & b \\
c & d
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} a & b \\
c & d
\end{bmatrix} ^{-1}
\begin{bmatrix} 1 & 2 \\
3 & 4
\end{bmatrix} ^{-1}
\]
n)
\[
X = \begin{bmatrix}
a & b & c\\
d & e & f\\
g & h & i
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\]
o)
\[
X = \begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
a & b\\
c & d\\
e & f
\end{bmatrix}
\]
p)
\[
X = \begin{bmatrix}
a & b & c\\
d & e & f\\
g & h & i
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\]
Questão 5
Sabendo que \(x=\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}\), que \(y=\begin{bmatrix} a \\ 1 \end{bmatrix}\) e que \(\langle x,y\rangle=0\), calcule \(a\).