Exercícios: Regressão (Parte 2)

Questão 1

Um jogador de futebol está chutando bolas exatamente na vertical, para cima, no meio de um estádio. A cada chute, a bola atinge uma altura máxima, e então cai novamente. A altura, evidentemente, depende da velocidade inicial da bola.

a) Mostre, passo a passo (incluindo a dedução do modelo), como podemos usar um modelo linear, com medidas do tempo de subida e da altura máxima da bola para determinar a aceleração da gravidade e a velocidade inicial

b) Gere dados simulados a respeito da situação problema que foi enunciada.

c) Em um programa de computador, resolva o problema para os dados que você simulou e verifique que você consegue recuperar os parâmetros usados para gerar os dados.

Questão 2

Nas ciências sociais, é comum assumir modelos lineares para determinados comportamentos de grupos de pessoas. Por exemplo, alguns modelos assumem que a taxa de analfabetismo (\(x_1\)) e a taxa de natalidade (\(x_2\)) influenciam o PIB (\(y\)) ponderadas por coeficientes \(w_1\) e \(w_2\), somadas a um coeficiente linear \(w_0\), isto é:

\[ y = w_0 + w_1 x_1 + w_2 x_2 \]

Suponha que você coletou dados do PIB, taxa de analfabetismo e taxa de natalidade de várias cidades. Mostre, passo a passo, e incluindo as deduções matemáticas relevantes, como encontrar os coeficientes \(w_0\), \(w_1\) e \(w_2\) à partir de seus dados.

Questão 3

Um modelo auto-regressivo (AR) é um modelo aplicado a séries temporais (por exemplo, sequências de medidas \(y_t\) para \(t=[0, 1, 2, \cdots, n]\). No modelo AR, o elemento \(y_t\) é encontrado à partir da soma ponderada de seus \(n\) elementos anteriores, isto é:

\[ y_{t} = w_0 + \sum_{i=1}^n w_i y_{t-i} \]

a) Usando a formulação matricial e a pseudoinversa, encontre os coeficientes do modelo AR capaz de prever a série:

\[ y = [0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2] \]

considerando \(n=1\), \(n=2\), \(n=3\) e \(n=4\).

Use apoio computacional para fazer as contas.

b) Gere uma série temporal que tenha amostras independentes de uma distribuição normal (ou: \(y_t \sim N(0,1)\)). Use um modelo AR para tentar prever a próxima amostra. O que você observa nos coeficientes?

c) Usando dados do Yahoo Finance (ou semelhante), encontre os valores de fechamento de ações de uma empresa à sua escolha. Use um modelo AR para tentar prever o valor das ações. Explore diferentes valores de \(n\). O que você descobriu? Por que isso aconteceu?

Questão 4

Em modelos lineares do tipo:

\[ y = w_0 + \sum_{i=1}^n w_i x_i \]

é comum assumir que os valores de \(w_i\) são representativos do impacto de cada uma das dimensões \(i\) da entrada.

a) Por que usar \(w_i\) como uma medida do impacto da variável \(i\) parece razoável?

b) Considere a situação em que a dimensão \(1\) tem uma variável \(x_1\) que varia entre \(0\) e \(1\), ao passo que a dimensão \(2\) tem uma variável \(x_2\) que varia entre \(-100\) e \(100\), ambas uniformemente distribuídas. Nesse caso, ainda é seguro usar \(w_1\) e \(w_2\) como uma medida do impacto de \(x_1\) e \(x_2\)? Por que?